实变函数论 下册

本书为苏联数学家И.П.那汤松所著《实变函数论》下册中译本，徐瑞云译，高等教育出版社出版。据内容简介，本书系根据苏联国立技术理论书籍出版社出版的那汤松《实变函数论》1950年版译出，现由译者根据原书增订本（1957年第二版）修订；原书经苏联高等教育部审定为高等学校教学参考书；全书共十八章，中译本暂分上下两册出版。版本页载明，本书1955年6月第1版，1958年12月第2版（修订本），1959年3月上海第6次印刷，32开，印张8 9/16，字数208,000，印数10,001—13,000，定价1.00元，统一书号13010·55。

下册目录列第十章至第十八章及附录。第十章“奇异积分、三角级数、凸函数”，下分奇异积分的概念、用奇异积分表示在给定点的函数值、在富里埃级数论中的应用、三角级数及富里埃级数的其他性质、许瓦兹导数及凸函数、函数的三角级数展开的唯一性；第十一章“二维空间的点集”，下分闭集、开集、平面点集的测度论、可测性及测度对于运动的不变性、平面点集的测度与其截线的测度间的联系；第十二章“多变数的可测函数及其积分”，下分可测函数与连续函数的拓广、勒贝格积分及其几何意义、富比尼定理、积分次序的变更；第十三章“集函数及其在积分论中的应用”，下分绝对连续的集函数、不定积分及其微分、上述结果的推广；第十四章“超限数”，下分有序集与序相、良序集、序数、超限归纳法、第二数类、阿列夫、策墨罗公理和定理；第十五章“贝尔分类”，下分贝尔类、贝尔类的不空性、第一类的函数、半连续函数；第十六章“勒贝格积分的某些推广”，下分引言、彼龙积分的定义、彼龙积分的基本性质、彼龙不定积分、彼龙积分与勒贝格积分的比较、积分的抽象定义及其推广、狭义的当若阿积分、哈盖定理、阿力山大洛夫—罗曼定理、广义的当若阿积分的概念；第十七章“在无界域上定义的函数”，下分无界集的测度、可测函数、在无界集上的积分、平方可和函数、有界变差函数与司帝吉斯积分、不定积分及绝对连续的集函数；第十八章“泛函分析的某些知识”，下分有度空间及其特殊情形——线性赋范空间、致密性、某些空间的致密条件、巴拿哈的“不动点原理”及其某些应用；附录列曲线弧的长、许坦豪司例子、关于凸函数的某些补充知识。

正文所见第十章开篇说明将函数论方法用到特定分析问题上去，并讲授函数论中一些新知识。§1“奇异积分的概念”从函数Φ_n(t,x)=1/π·n/[1+n^2(t-x)^2]谈起，定义f_n(x)=n/π∫_0^1 f(t)dt/[1+n^2(t-x)^2]，证明当f(t)在t=x连续时lim f_n(x)=f(x)，并给出核的定义、奇异积分形式及勒贝格定理；由此推出黎曼—勒贝格定理，说明可和函数的富里埃系数当n→∞时趋向于0。§2“用奇异积分表示在给定点的函数值”述勒贝格定理、那汤松补助定理、罗曼诺夫斯基定理及法捷耶夫定理，讨论可和函数在连续点、勒贝格点、不定积分导数点等情形下奇异积分的表示问题。§3“在富里埃级数论中的应用”述迪列克来奇异积分、蔡查罗求和、飞耶奇异积分，并证明飞耶—勒贝格定理等。本次仅见前20页，后续内容待补。