实变函数论 上册

《实变函数论 上册》是苏联数学家И.П.那汤松著、徐瑞云译的实变函数论教材，由商务印书馆1953年8月初版，为中央人民政府高等教育部推荐的高等学校教材试用本。版权页载明：本书根据苏联技术理论书籍出版社（Государственное издательство технико-теоретической литературы）出版的那汤松（И.П. Натансон）著《实变函数论》（Теория функций вещественной переменной）1950年版译出；原书经苏联高等教育部审定为高等学校教学参考书；全书共十七章，中译本分上下两册出版。上册版权页载明：商务印书馆出版，上海河南中路二一一号，中国图书发行公司发行，商务印书馆北京厂印刷，1953年8月初版，版面字数242,000，印数1—2,500，定价17,000元。书前有中央人民政府高等教育部“高等学校教材试用本的说明”，说明充分学习苏联先进经验、根据国家建设需要设置专业培养干部，是全国高等学校院系调整后一项重大工作；在我国高等学校里按照所设专业试用苏联教材而不再使用以英美资产阶级教育内容为基础的教材，是进一步改革教学内容和提高教学质量的正确方向；1952年9月24日人民日报社论指出苏联各种专业的教学计划和教材基本上对我们适用，它是真正科学的和密切联系实际的；现在组织人力依照需要缓急有计划地大量翻译苏联高等学校各科教材，并将继续向全国推荐作为现阶段我国高等学校教材试用本；希望使用试用本的教师和同学们特别是各有关教研组同志们在教学过程中对译本内容和译文广泛认真提出修正意见，作为再版参考，并希望各有关教研组在此基础上逐步改进，使能结合中国实际，最后编出完全适合我国需要的新教材。作者序言说明本书是适用于我国大学现行教学大纲的一本教科书；鉴于函数理论对于培养数学家日趋重要，在本书中（用小型铅字排印）放入一系列超出大纲范围的问题；为不使篇幅过大，放弃了很多重要材料，如微分理论、更一般的积分理论、若干接触到复变函数论的问题等，准备另写专门书籍讨论；实变函数论在大学三年级开始讲授，所以假定读者对解析学基本概念已能灵活掌握，凡任何一本详尽微积分书讲到的一些概念，如无理数、极限理论、连续函数最重要性质、微分、积分、级数等都假定为读者所熟知；书中大部分章后附有习题，这些习题一般相当难，有时需要经过很大努力才能解决，但对于要想切实通晓这门知识的读者，仍建议务必尽最大努力至少解决其中一部分问题。序言还说明本书由以前所写《实变函数论的基础》改编，该书1941年在列宁格勒大学出版，因数不多不久销完；早有意再版，愿望已部分实现，“拉强西卡学派”出版部曾用乌克兰译文刊印该书，译者是基也辅斯克大学副教授C.H.助贺维次基，他添加各种细致补充并加添原书所没有的三章，讲述高度空间的点集和多变函数论等问题；本版除包含上述补充外，还添加很多新材料：泛函数解析初步（按照最近颁布的綜合大学教学大纲所要求的范围）、半连续函数理论、测度问题的不可解性，以及有关在积分号下取极限的详细讨论等。序言还说明书中可找到俄国学者发明的许多结果，如П.Ф.叶果洛夫和П.Н.卢洵关于可测函数的基本定理、C.H.褒恩斯坦的多项式、П.Н.卢洵和A.H.柯尔莫廓洛夫关于三角级数的定理、П.Н.罗曼诺夫斯基和П.К.法捷耶夫关于奇异积分的定理等；但这些结果远不能代表俄罗斯数学家在实变函数论发展中的全部贡献，因为本书所说多是函数论中较初等部分，而苏联学者对这门学问研究已达到很高深地步；为给读者较完整轮廓，末章简括讲了些俄国和苏联数学家在实变函数论方面的贡献。目录列上册八章：第一章无限集（集的运算、一对一的对应、可列集、连续集的势、势的比较）；第二章点集（极限点、闭集、内点及开集、距离及分离性、有界开集及有界闭集的构造、凝聚点闭集的势）；第三章可测集（有界开集的测度、有界闭集的测度、有界集的内测度与外测度、可测集、可测性及测度对于运动的不变性、可测集类、测度问题、维他利的定理）；第四章可测函数（可测函数的定义及其最简单性质、可测函数的其他性质、可测函数列度量收敛、可测函数的构造、伐尔斯脱劳司的定理）；第五章有界函数的勒贝格积分（勒贝格积分的定义、积分的基本性质、在积分号下取极限、黎曼积分与勒贝格积分的比较、原函数的获得）；第六章(L)可积函数（可测正值函数的积分、一般的(L)可积函数、积分号下取极限）；第七章本身及其平方都是(L)可积的函数（主要定义、不等式、模数、平均收敛、直交系、空间L2、线性独立系、空间Lp与lp）；第八章有界变差的函数、司帝阶积分（单调函数、集的映照、单调函数的微分、有界变差的函数、赫利的选择原理、有界变差的连续函数、司帝阶积分、在司帝阶积分号下取极限、一次泛函数）。正文已见第一章无限集§1集的运算，述集论是实变数函数论的基础，最初重要文献是康脱在十九世纪末叶发表，现在集论已是数学中范围很广的学科；本书中集论只有辅助意义，只讨论基础知识；集是不可精确定义的数学基本概念，只能描写；凡具有某种特殊性质的东西全体称为集；任何东西对于某一集而言或属于或不属于，二者必居其一但不可得兼；定义元素、空集、单元素集、子集、相等、和集、通集、差集等；举例自然数全体、直线上点全体、以实数为系数的多项式全体等；定理1 AΣEξ=ΣAEξ；系A(B+C)=AB+AC；定理2 A(B-C)=AB-AC；定理3 (A-B)+B=A当B⊂A且仅当B⊂A时成立。§2一对一的对应述有限集比较元素个数，可用一一对应法而不用数；举例A={a,b,c,d,e}，B={α,β,γ,δ,ε}；无限集N自然数全体与M所有1/n全体可一一对应；定义一一对应、对等、势相同；举例长方形一对平行边上点的集对等、两个同心圆周上点的集对等，虽然展开为直线后线段长不同；直角三角形斜边上点的集与底边上点的集对等，虽然底边长短于斜边；自然数全体与偶数全体对等，虽然偶数是自然数的真子集；定理1自反、对称、传递；定理2可列个不相交集的和集对等。§3可列集定义与自然数集对等的集为可列集，具有势a；举例平方数集、立方数集、偶数集、{1,1/2,3,1/4,...,1/n,...}等；定理1集A为可列的必要且充分条件是可以列成A={a1,a2,...,an,...}；定理2任何无限集必含有可列子集；定理3可列集的任何无限子集是可列的；系从可列集A除去一个有限子集M，所得A-M仍为可列集；定理4一个有限集和一个可列集如无公共元素，它们的和集是可列集；定理5两两不相交的有限个可列集的和集是可列集；定理6两两不相交的可列个有限集的和集是可列集；定理7两两不相交的可列个可列集的和集是可列集；以记号a表示可列集的势，有a-n=a，a+n=a，a+a+...+a=na=a，n1+n2+...=a，a+a+...=aa=a；定理8有理数全体所成之集R是一可列集。本书是20世纪50年代中国翻译苏联高等学校数学教材的重要成果，反映了当时高等教育学习苏联先进经验、改革教学内容的历史背景。本次仅见前20页，后续内容待补。