多个复变数正交函数及其在解析函数论中的应用

本书为《多个复变数正交函数及其在解析函数论中的应用》，M. 斯蒂芬·贝格曼著，陆启铿、谢晖春译，科学出版社1960年7月第一版。书前“内容简介”指出，本书是贝格曼研究成果的总结。自从他证明解析函数的完备正交系存在及引进核函数以来，这个方法已经广泛应用到多复变数与单复变数函数论、偏微分方程论及泛函分析中去，因此本书成为经典的参考书。内容简介概括全书结构：最初介绍两个复变数空间的几何概念，然后证明完备正交函数系的存在定理；其次是具体求极小函数的方法；最后略述它在函数论及微分几何中的应用。

书前“引言”首先说明，一个复变数解析函数论的许多方法不能推广到多个复变数解析函数的情形，因此必须采用新方法。在这些方法中，作者特别引述在一域B内正交的n个复变数函数系，并说明为简便计只限于考虑n=2的情形。引言述及正交函数系的用处多半来自对平方可积解析函数类E(B)封闭的函数系的“核”Σφ^(ν)(z1,z2)φ^(ν)(t1,t2)的若干性质：它在每一内点是变数z1,z2及共轭t1,t2的正则函数；它与封闭系{φ^(ν)}的特殊选择无关，称为域B的核函数K_B(z,t)；若h在B内解析且在平方可积函数类中变化，并满足|h(t1,t2)|=1，则积分∫_B|h|^2 dω的极小值等于1/K_B(t,t)，且由h=f(z)=K_B(z,t)/K_B(t,t)达到。引言还说明运用多个复变数正交函数系时，不仅能够应用实数域正交函数论的基本方法，而且与核函数性质联系时显得更为简单；该方法对于处理函数类E(B)中要求满足线性性质条件的问题（如内插问题）十分合适，可获得适合已给条件且在B平方可积的函数类的存在性与唯一性判别法以及高界等。引言特别强调与拟共形映照研究的关系：n个复变数的n个解析函数把2n维欧氏空间的一域映为另一域的表示，在n>1时称为拟共形表示；拟共形表示把定义在一域的双复变数解析函数变为定义在另一域的双复变数解析函数，在某些情形下可选取域使研究更简单。引言还提出拟共形映照理论中两个问题：一是在等价域类中选取“代表域”并分类、研究主要性质及有效找出拟共形映照；二是求对拟共形表示某些范畴的与欧氏度量有关的量之变化的界限。引言指出，在共形表示情形中主要基于黎曼-邦加雷定理和许瓦兹引理，而作为在拟共形映照下积分不变量之核函数的引进，在某些范围内容许有可接受的定理代替这两个定理；借助核函数，正交函数理论容许确定一哈尔密度量为关于拟共形映照不变者，并研究“表示坐标”；所导出方法称为“极小问题的方法”，在共形映照情形导致皮克形式的许瓦兹引理。引言还述及椭圆型方程经共形映照仍变为同样形式方程，四复变数偏微分方程类型经拟共形映照不变，因此可只研究特殊域类中的情形。全书第一章叙述双复变数解析函数论中的几何概念，第二章给出复数域正交函数论基本定理，第三章指出极小问题及其在函数论几个问题上的应用，第四章建立不变量并研究其局部性质。

从目录看，全书包括引言、第一章“符号，两复变数空间的元素”（前言、符号、曲面、超曲面、四维空间的一些特殊域），第二章“正交函数及其性质”（符号、正交函数系、核函数及其性质、Fischer-Riesz定理——一函数以正交函数展开、完整系的存在、核函数及极小函数、核函数的有效方法问题、特殊的正交函数及其应用），第三章“关于某些极小问题”（极小问题的方法、极小问题、例、插值问题、应用于整函数及亚纯函数），第四章“对于拟共形映照不变的量”（不变度量的引进、度量G的一些局部性质、原空间），后附参考文献。前20页已见内容简介、引言及第一章开头，涉及复变数及共轭符号、四维笛卡尔坐标、解析函数的Cauchy-Riemann方程、流形曲线曲面超曲面、解析曲面与解析平面、解析平面交角、曲面曲率、超曲面标准表示、Levi表达式与拟凸、解析超曲面块、圆域、Reinhardt圆域、Hartogs半圆域、Cartan(m1,m2)圆域、代表域、特征边界曲面等概念。版权页载书号248，字数48,000，开本787×1092 1/27，印张10/2，印数00001—11,500。本次仅见前20页，后续内容待补。