实函数论

本书为陈建功所著《实函数论》，1958年8月由科学出版社在北京出版第一版并第一次印刷。卷首“内容提要”概括全书主旨：从集的概念谈起，通过实数和点集理论，评论实函数的连续性、可微分性；导入黎曼积分、勒贝格积分的概念和基本性质及有关这些积分的运算工具；以此为基础，研讨直交函数级数的性质，作为理论到实践的一种示范；最后一章为线性泛函分析，概括很多具体事实。作者序详细交代成书经过：著者1924年至1926年在国立武昌大学讲授实变数函数论，当时所编讲义是本书最初底稿；1929年后屡有修改增删，称“实函数论”以授浙江大学学生；解放后改文言为语体，渗入苏联教材；1952年调到复旦大学讲授实函数论，听讲人数剧增，四五年教学相长，遂将此稿问世。序末署1957年8月。

从目录和序文看，全书共十章。第一章“集的一般概念”讨论集、映照、有限集与无限集、可列集与不可列集、计数的推广、∞和、势的比较、有序集与序相、良序集、超限数与超限归纳法、序数之势、选取公理与势的比较、集的概念与数学基础。第二章为实数理论，序文说明从整数公理系统建设整数四则运算，引入有理数理论，以有理数基本数列定义实数，形成梅赖和康妥的无理数论，并用一般进位法记出实数；同时用德德金特的有理数体分割定义实数，最后将两种实数论统一。第三章“点集”在有度空间中从致密性概念出发引进开集、闭集以及点集的包、核、境界，阐明疏朗性和稠密性，通过联络性概念说明区域与连续点集性质，并建立最一般形式的掩盖定理。第四章论实函数的连续性、半连续性与不连续性，陈述连续函数性质及其应用，阐明连续映照性质，研讨两个连续点集间的一一对应问题，说明连续曲线有充实空间而无余隙的可能；又述半连续函数是连续函数列的极限函数，指出上半连续函数小于下半连续函数时必有连续函数介在其间，即好斯多夫定理，并指出一个实变函数的第一种不连续点全体成可列点集。第五章专论裴勒函数，即连续函数列的极限。第六章研讨实变函数微分理论，指出区间上实函数极值点可列，中值定理可有种种推广，利用中值定理证明e的超越性；给出高阶导数两种推广，指出广义二阶导数恒等于0的连续函数只有一次函数，并利用薛瓦兹定理证明恒等于0的三角级数就是0；讨论凸函数特征及不可微点可列；引入零集概念，通过黎斯定理证明单调函数几乎处处可微分，证明富弼尼关于单调函数级数逐项微分定理，指出有界变差函数全变差函数导数几乎处处等于|f'(x)|；通过勒贝格密度定理建立当日阿—杨格—沙克斯导数定理，并举例说明处处不可微的连续函数存在。第七章专论点集测度，主要谈欧几里得空间中的勒贝格测度，证明谢尔兵司基测度的掩盖定理，省略维太利定理。第八章论积分，第一部分为黎曼积分，包括有限区间上的函数、平面曲线、黎曼—斯帝捷积分、高度空间中的黎曼积分、区间函数；第二部分为勒贝格积分，包括勒贝格积分、区间上的勒贝格积分、阶梯函数、积分函数与绝对连续函数、几个实变函数、勒贝格积分在复变函数论上之一应用、含有勒贝格积分的种种基本解析工具与分离积分法、彼隆积分。第九章“直交函数级数”论三角级数作为直交函数级数、黎曼—勒贝格定理及其应用、三角级数绝对收敛、用算术平均法求级数和、三角级数实质收敛、直交函数级数实质收敛、变更收敛级数项的顺序、从权产生的直交多项式系、有界变差函数富理埃级数绝对收敛、连续函数的收敛指数。第十章“线性泛函数”论函数族L²(e)、函数族L^p(e)(p≥1)、连续函数族上的线性泛函数、完备空间的收缩映照、连续函数族的致密性、有度空间中的实函数和曲线、一般的线性泛函数、元素叙列的弱性收敛与泛函数叙列的弱性收敛、线性运算子、广义函数、线性运算方程。全书体系严整，兼顾集论、实数论、点集论、连续性、微分、测度、积分、直交级数与泛函分析，既可作为大学数学专业实变函数论课程教材，也可供数学研究者参考。本次仅见前20页，后续内容待补。