广义函数的基本理论

本书是波兰数学家米库辛斯基（J. Mikusinski）和西科尔斯基（R. Sikorski）所著《广义函数的基本理论》的中文译本，由复旦大学数学系1956—1961级泛函分析组同学翻译，人民教育出版社高等学校教材部出版。据卷首内容说明，本书原文是两位作者所写的英文著作“The Elementary Theory of Distribution”，由波兰国立科学出版社（Panstwowe Wydawnictwo Naukowe）1957年出版；中译本系根据苏联外国文书籍出版社1959年出版的希罗科夫（Ф. В. Широков）所译俄译本“Элементарная теория обобщенных функций”译出。内容简介指出，本书简明地叙述了广义函数论的基本理论，是一本很好的广义函数论入门书籍，可供高等学校数理系学生及科技工作人员阅读。OCR前20页未见中文版版权页年份，出版年暂记待查。

卷首俄文版序言由盖里范德（H. M. Gelsund）署1958年2月26日。序言说明，本书简明扼要地叙述广义函数的基础理论，叙述了广义函数论的大部分基本概念和一系列有用例子。作者把广义函数作为连续函数序列的“极限”与作为连续函数的形式导数来定义，并证明这些定义的等价性；这样引入广义函数仅要求读者知道最简单的分析概念。作者说明广义函数类不仅包含连续函数，还包含广泛的一类不连续函数以及如狄拉克δ函数这样的奇异函数，并建立起广义函数的基本运算法则，如微分、积分、变数代换等。后面几节研究广义函数在一点的值的概念，并建立该值存在性的充分必要条件；最后研究周期广义函数及其傅里叶级数展开。序言还指出，本书未涉及广义函数论的一个重要方面——傅里叶变换理论，但仍可推荐为广义函数论的很好的入门书。

正文引言说明，本书目的是尽量简单地叙述广义函数理论，使物理学家和工程师容易掌握；为达到这一目的，不利用泛函分析方法，也不用泛函来定义广义函数。在应用数学里，广义函数如狄拉克δ函数是作为普通函数来研究的，但事实上广义函数不是普通函数，然而在某种直观意义上能够用普通函数来逼近，因而严格定义逼近概念是定义广义函数的出发点。引言还指出，每个广义函数在一定意义下是某个连续函数的导函数，本书用广义函数的两个基本观点——作为连续函数的极限和对连续函数的导数——来展开理论其他部分，使所有定理的证明初等而简单。正文目录显示全书包括引言及§1至§21，依次讨论抽象方法、连续函数的基本序列、广义函数的定义、广义函数作为函数概念的扩充、广义函数的代数运算、广义函数的微分法、由导数来定义广义函数、局部可积函数、广义函数的序列和级数、依赖于连续参数的广义函数、广义函数与函数的乘积、变数代换、在区间上的广义函数的等式、具有极的函数、导数作为差商的极限、广义函数在一点的值、广义函数值的存在定理、广义函数在无穷远处的值、广义函数的积分、周期广义函数、无穷阶的广义函数等，并附参考文献。前20页正文已具体展开§1“抽象方法”、§2“连续函数的基本序列”、§3“广义函数的定义”、§4“广义函数作为函数概念的扩充”、§5“广义函数的代数运算”、§6“广义函数的微分法”等内容，讨论等价关系、基本序列、几乎一致收敛、广义函数作为基本序列的等价类、狄拉克δ函数、广义函数的加减和数乘、任意阶导数存在性等。本书是20世纪中叶广义函数论入门教材的中译本，对研究广义函数理论传播、数学教材翻译史和泛函分析教学具有参考价值。本次仅见前20页，后续内容待补。