函数插补与逼近理论

本书系根据苏联技术理论书籍出版社出版的B.Л.冈察洛夫所著《函数插补与逼近理论》1954年改写第二版译出，中译本于1958年4月由科学出版社出版，开本787×1092 1/18，插页3，字数376,000，印数0001—1,465册，定价4.00元。内容提要说，本书比较详细地讲述了实变数函数的插补与逼近理论，同时也介绍了复变数函数的这种理论以及在线性有模空间中的最好逼近法；它可以作为数学系高年级学生与研究生教学参考用书，也可供广泛的数学工作者参考。

据第二版序，函数的插补与逼近理论曾经是并且仍然是近代数学分析发展的主要方向之一，同时也是俄国及苏联数学创作有特别辉煌成就的部门。著者指出，虽然时间过去了二十年，而且这段时期中主要由俄国数学家在这一领域作了巨大贡献，但还是需要一本供广泛读者使用的书：既不使人倦于过多细节，又充分注意原则性关节，因而可以作为现代继续迅速发展的一个科学知识部门的入门。著者决定重版这本长久以前的著作，而有意限于古典范围内提出问题，即有限区间、形为有限和亦即代数与三角多项式的逼近函数；新得到的结果也是在这种条件下考虑的。为了讲述显示的“泛函数分析的”表示法与通常的泛函数术语，著者认为写出补编来概述推广的理论是有益处的。本书结构上也作了一些变动，特别是加了第五章来讲述在复数区域中函数的插补与逼近问题；但这并不是说著者要在前面第一至第四章中避免应用复变函数论的工具。第二版序末署1954年8月于莫斯科，并感谢C.H.伯恩斯坦院士、R.C.贝西可维奇教授及B.C.维琴斯基在编校中的帮助。

著者序说明，关于用比较简单的（形如多项式的）分析式来近似表示连续函数的各种理论，数学文献中缺乏一种书籍以连贯讲述它们作为主要任务；如果特别注意函数逼近法在函数论本身中所已充分发挥的作用，就可看到对这种书籍需要很大。著者想立足这个缺陷。为了说明本书一般内容，著者提出三个人名：函数论奠基人卡尔·维尔斯德拉斯，他给出了一个重要定理，在某种意义下连续函数概念本身可以从这个定理产生出来；巴弗努吉·李伏维契·契比谢夫，他作出了首创性的函数最好逼近法；塞尔格·纳达诺维奇·伯恩斯坦，他沟通两种不同思想，使它们相互渗透。著者说明材料丰富与情形复杂使讲述计划很难定，想尽力讲到广泛内容、建立一般统一方案，并依照读者思想发展确定讲述次序；本书不谈与基本对象有机且历史紧密联系而本质上属于较远领域的问题，即有限差论、数学物理方程、保角映射近似理论以及变分学等问题。著者假定读者一般通晓大学二、三年级课程范围内的数学分析，包括复变函数论在内。

从目录看，全书有导言及五章，另有补编。导言包括函数近似表写的概念、函数论中的必要知识、多项式零点个数与分布、契比谢夫多项式、线性代数方程组解法、斯提叶斯积分。第一章“点插补法”包括房德莽行列式、拉格朗日插补多项式、三角插补法、有限差与阶乘多项式、函数插补法及表的应用、差分比插补公式、有重基点的插补法及厄米特公式、线性泛函数及与其相关多项式的正交系、拉格朗日插补公式误差估计及哥西形余项、无穷插补过程及其收敛性、发散插补过程例子、用各级导数的插补法、广义多项式插补法、线性泛函数的近似表写及机械求积法。第二章“维尔斯德拉斯定理”包括第一及第二定理表述、A.勒贝格证明、E.兰道证明、C.H.伯恩斯坦证明、伯恩斯坦多项式若干性质、第二定理证明及与第一定理联系、关于插补基点的法柏定理、卷叶的收敛插补过程。第三章“平方逼近法”包括最小二乘法、加权逼近、正交函数系、正交多项式基本性质与递推公式、特殊正交多项式系、契比谢夫多项式、勒让德多项式、雅谷比多项式、拉格叶尔与厄米特多项式、周期函数三角多项式平方逼近、高斯-克利斯托费尔机械求积公式、克利斯托费尔-达布公式、平方逼近一致收敛性、发散傅立叶级数例子、傅立叶级数求和法、伯恩斯坦求和法、平方逼近与连分数理论联系。第四章“平均幂逼近法与一致（最好）逼近法”包括平均数理论、平均幂逼近与最好逼近、契比谢夫最好逼近条件、计算例子、杰克逊定理、伯恩斯坦定理、用各级导数最大模估计最好逼近、解析函数最好逼近及其应用。第五章“复数区域中的插补法与逼近法”包括一般说明、有限插补法、复变积分表示拉格朗日插补式余项、插补过程收敛性、插补修正因子、用各级导数插补法误差估计、与维尔斯德拉斯定理相对应的定理、复数区域平方逼近、齐各多项式与加列曼多项式、平方逼近收敛性、插补法一般概要、函数最好逼近法。补编为“在线性有模空间中的最好逼近法”，书末有文献和索引。正文前20页已见内容提要、第二版序、著者序、目录及导言开头部分，导言以函数近似表写概念开篇，并举例说明用一次、二次多项式及三角多项式插补或逼近指数函数、余弦函数等。本次仅见前20页，后续内容待补。