微分几何讲义

本书为吴大任编《微分几何讲义》，内容为三维空间微分几何学。据卷首内容提要，本版比前几版增加了“关于图形的整体性质”内容：第一章简单叙述本书所需用的有关矢函数的知识；第二章到第四章是曲线理论；第五章初步介绍可展曲面，作为曲线理论与曲面理论的桥梁；第六章到第八章是曲面理论；第九章是关于图形的整体性质；附录I—V的内容是正文某些内容的补充。内容提要还指出，本书原来的版本是理科数学专业多年使用的教材，修订后有部分内容超出了综合大学数学系《微分几何》教学大纲，经过教师根据教学大纲的要求对内容进行选择后，可作为综合大学及师范院校数学专业的教材。

初版序说明，本书原是1957年编者在南开大学讲授微分几何课程时所编讲义，出版前略有增订；内容大体依据1956年高等教育部审定的综合大学数学专业四年制用微分几何教学大纲，增订时曾考虑到五年制的要求。带有*号的各章节一般是补充的、次要的或较繁难的内容，讲授时可以略去，不影响或基本不影响以后的学习。本书所用数学知识和工具限于解析几何（包括矢量运算）、数学分析和微分方程里的一般基础知识和工具，没有用到复变函数、变分法和偏微分方程等，企图以较小篇幅阐述三维欧氏空间里曲线和曲面的理论。第一章除§6和§7外，完全是复习矢代数和介绍有关矢函数的微分和积分等最简单的事实；第二至第四章构成空间曲线论，其中第四章兼讨论平面曲线；第五至第八章构成曲面论，其中以第五章可展曲面初论作为曲线论和曲面论的桥梁，第六章和第八章后半论述曲面的内在性质，第七章全章以法曲率为基础，可以称为曲面的曲率理论，第八章前半主要是导出基本公式和基本方程并证明基本定理，在第八章采用了正交参数曲线网。各章末附有“结束语”，概括本章主要内容并指出彼此联系；大多数节后附有习题，作为本书的有机组成部分。

再版说明指出，再版与第一版比较主要变动是增加了附录，正文和第一版基本相同，但有三处较大变动：第一，把本书所需用的关于一阶线性微分方程组存在定理的证明从正文中抽出，略加修改，辑成附录V；第二，把第五章里关于单参数曲面族的部分抽出，作为附录I，而在第五章里只讨论单参数平面族；第三，在第八章§13里增添关于闭曲面总曲率的内容，以显示曲面的局部性质和整体性质的一种联系，以及本学科和拓扑学的一种联系。再版一共增加五个附录，除上述两个外，其余三个都是正文的补充：附录II论述小积曲面的若干主要事实，并补证等角映射的某些结果；附录III引进张量记法来论述曲面理论，以弥补第八章采用正交参数曲线网后某些公式缺乏普遍性的缺陷，并有助于学习黎曼几何学；附录IV论证小积曲面和短程线的极小性质，采用变分法方法但没有采用变分法专门术语和符号。第四版说明指出，初版至今已21年，鉴于图形的整体性质已愈来愈多地成为现代微分几何的研究对象，这次再版除改善少数定理的证明和逻辑顺序、改变个别名词和记号外，只是增加了介绍图形最简单整体性质的第九章；这一章所用到的预备知识和前八章相同，并对读者来信指出的旧版刊误和不妥之处作了订正。

从目录可见，全书共九章：第一章矢函数，包括矢代数复习、直线和平面复习、纯量变数的矢函数与曲线的参数表示、矢函数的极限与连续性、矢函数的微导与曲线的切线、几种具有特殊性质的矢函数、关于矢函数的泰乐公式、矢函数的积分；第二章曲线的基本三棱形，包括切线和法面、密切面与副法线、主法线和从切面、弧长、自然参数与基本矢、曲线间的切触阶、曲线和平面间的切触阶；第三章空间曲线论的基本公式，包括基本公式推导、曲率、挠率、曲线在一点邻近的结构、基本公式在运动学里的意义、密切圆、密切球面、微分几何的任务与有关曲线的不变量；第四章曲线论的基本定理，包括平面曲线论的基本公式、平面曲线的相对曲率、平面曲线论的基本定理、空间曲线论的基本定理、空间曲线论的唯一存在定理、一般柱面螺线、贝特朗曲线；第五章可展曲面初论，包括曲面的参数表示、曲面的寻常点、切面与法线、直纹面与可展曲面、可展曲面的分类、曲线的法线所构成的可展曲面、曲线的渐伸线与渐缩线、可展曲面作为单参数平面族的包络面、曲线的法面族、曲线的从切面族；第六章曲面的第一基本齐式，包括第一基本齐式与曲面上曲线弧长、曲面上曲线的交角、曲面的面积、曲面的等距映射与曲面的内在性质、可展曲面在平面上的贴合、等角映射与等面映射；第七章曲面上曲线的曲率与一些重要的曲线，包括第二基本齐式、法曲率、平面和球面的特征、主方向与主曲率、曲率线、三重正交曲面系的杜潘定理、欧拉公式、全曲率和中曲率、曲面在一点邻近形状的分析、中曲率为零的点与小积曲面举例、密切抛物面与杜潘标线、曲率线的特征、渐近曲线、可展曲面作为全曲率恒等于零的曲面、全曲率作为等距不变量、共轭方向和共轭曲线网、曲面的球面表示与第三基本齐式；第八章曲面论的基本定理与曲面的内在几何，包括曲面论的基本公式、基本方程、基本定理、唯一存在定理、短程曲率、短程线、短程挠率、具有常数全曲率的曲面、具有常数全曲率的回转曲面、伪球面与伪球率曲面在平面上的等角表示、曲面上矢量的平移、可展曲面的又一特征、高斯-崩尼公式；第九章关于图形的整体性质，包括平面曲线、空间曲线、曲面三部分，涉及平面闭曲线的相对总曲率、闭凸线、四顶定理、卵形线、常宽曲线、等周不等式、球面上和一条曲线相交大圆的测度、闭曲线的总曲率、有结曲线的总曲率、闭曲线的总挠率、主法线球面象、卵形面、希耳伯尔特引理、球面的若干特征等。书末附录I为单参数曲面族，附录II为复数的引进与从迷向矢到小积曲面，附录III为张量记法在曲面论中的运用，附录IV为变分法中的两个命题，附录V为关于微分方程组的几个定理，并附人名译名索引、内容索引。本次仅见前20页，后续内容待补。