有理數及無理數

本书为徐氏基金會“新數學文庫”第1冊，英文原名為 *Numbers: Rational and Irrational*，中譯本由王昌銳翻譯，中華民國五十九年二月25日初版，徐氏基金會出版部出版，發行人鄧普賢，印刷者大興圖書印製有限公司，定價新台幣二十五元、港幣四元。卷首“新數學文庫”說明指出，本文庫由當代數學專家三十餘人編撰，目的在確立中等學校學生及社會大眾某些頗饒興味、而易領悟的重要數學觀念；內容多不含於中學數學教科書中，難易懸殊，部分需特別研究，並強調學習數學的最好方法為多做習題，讀者應養成手持紙筆從事閱讀的習慣。本文庫共二十冊陸續出版，本書列為第1種。

譯序從“數學是研究數目和與數目有關的一切事物之學門”談起，指出數目為數學主要內容，如無數目便無數學可言；人類日常生活與現代科學幾乎無一可離數學而獨存。譯序依次說明自然數、奇偶正負、整數、有理數、實數、無理數、虛數、複數，以及三角函數值、反三角函數值、對數數目、指數數目、雙曲線函數數目等超越數，指出今日數學中所遭遇的數目，有理數固多，無理數亦夥，所有數目不論代數的或超越的，均可以有理數及無理數二者概括之，因此研究算學、代數、幾何、三角、解析幾何、微積分等數學者，應先研討有理數及無理數。譯序還說明本書專門討論有理數及無理數二端，對其分類、來源、性質、表示方法、定義賦予以及運算運用上的定理原理，均一一探討、說明、示範、證定，對中等以上學校師生之數學進修頗多助益。

“引言”從最簡單的自然數1、2、3講起，引克洛耐卡“上帝創造自然數，所有其餘為人類所為”之名言，繼而說明分數、有理數、數軸上的點、0與負數的引入，以及古希臘人發現正方形對角線長不能以有理數表示、√2為無理數、圓周為直徑的π倍等事實；並討論實數包括有理數與無理數，形成數學的中心數系，幾何中任何長度、面積或體積的討論立刻引致實數，實數具有完整性質；又將實數分為代數數與超越數，提及Liouville於1851年確定超越數存在、十九世紀末證明π為超越數、Cantor用完全不同途徑確立超越數存在性。引言還介紹本書章節安排：首三章提示自然數、整數、有理數及實數；第四章提供辨別無理數的標準方法；第五章論三角與對數數目；第六章處理如何用有理數求無理數近似值；第七章與附錄C提供兩種超越數存在性證明；附錄A證明有無窮多個質數，附錄B證明算術基本定理，附錄D論三角數。目錄顯示全書七章，另有附錄A至D、習題答案及建議選輯、中英名詞對照表。本次僅見前20頁，後續內容待補。