级数概论

《级数概论》为民国时期“算学丛书”第八种，书名页署“日本林鶴一、小倉金之助著，歐陽祖綸譯”，文件名标注出版年为1928年。本次OCR未见版权页，出版者、印行所及版式详情待补，但从书名页、目次和正文版式看，应为民国时期排印的数学专门教材或参考书。全书目次共十四章并附附录，内容围绕数列、极限、级数及其收敛判定展开，体系完整，术语带有近代数学译名的时代特征。

据目次，第一章“数列之极限”讨论无限数列之极限、关于数列极限之注意、例题、关于极限基本的计算、单调数列、无理数、豫先应习之不等式、指数函数及对数函数等；第二章“数列极限之他诸定理”讨论数列之上限及下限、上界及下界、数列收敛之普通原则、史多尔十之定理、柯西之定理、亚培耳之豫备定理、卡儿之定理、函数之极限等；第三章“无限级数”讨论无限级数之收敛、级数收敛之定理、正项级数收敛之定理、级数比较之原则、柯西之收敛判定条件、提伦培之判定条件、樸林枯斯呵模之定理、柯西之凝集判定条件、正项级数各项次序之变更、正负项级数之绝对收敛及条件收敛、交番级数、绝对收敛级数之乘法、指数函数、对数函数等。第四章“正项级数收敛之判定条件”列对数无限大之标准、克拉墨之判定条件、勒伯之判定条件、哥斯定理、哥斯及溪耶墨之判定条件、亚培耳·培脱兰之级数、第一种及第二种对数的判定条件、凝集判定条件之扩张、指数的判定条件等。第五章“正项级数系统的研究”讨论收敛判定之原则、对数的关系式、发散级数之标准形式、收敛级数之标准形式、樸林枯斯呵模之第一种及第二种判定条件等。第六章“正负项之级数”讨论项之顺序之变更、威尔斯特拉司之判定条件、亚培耳及狄利失勒之判定条件、西萨罗之判定条件、级数之乘法等。第七章“二重级数”讨论二重级数之极限、累次极限、单调二重数列、二重级数及累次级数、正项二重级数、绝对收敛及条件收敛、柯西之二重级数定理、级数之变形、重数列及重级数等。第八章“无限乘积”讨论无限乘积之收敛、正因数之乘积、一般乘积之收敛、绝对收敛、条件收敛、无限乘积之变形、“敢麻”函数等。第九章“微积分学之基础定理，无限积分”讨论函数极限之注意、函数之连续、函数之微分、微分法之基础计算、函数之积分、积分之基础定理、无限积分之收敛、正因数之积分收敛之判定条件、无限积分及无限级数之比较、马格老临之积分判定条件、爱鲁马觉夫之判定条件、无限积分及无限级数之极限、重积分、重级数之积分判定条件等。第十章“变数项之级数”讨论函数列之一律收敛、一律收敛函数列之定理、级数之一律收敛、级数之连续、级数一律收敛之判定条件、丹南利之定理、级数之积分、级数之微分、无限乘积之一律收敛、丹南利关于乘积之定理、无限乘积之对数微分等。第十一章“幂级数”讨论收敛之范围、幂级数之连续性、未定系数法之原则、系数为变数者、亚培耳之定理、幂级数之代入、级数之除法、幂级数之反转、戴劳之级数、幂级数之微分及积分、关于戴劳级数之樸林枯斯呵模定理、拉果兰诸之级数、幂级数之扩张等。第十二章“复数项之级数”讨论复数、复数数列、复数之指数函数及对数函数、复数之一般幂及三角函数、复素项级数之收敛、绝对收敛及条件收敛、复素因数无限乘积、复数级数绝对收敛之一般判定条件、对数之判定条件、条件收敛之判定条件、幂级数之威尔斯特拉司判定条件、复变数之函数、函数之平均值、级数之一律收敛等。第十三章“复数范围内之幂级数”讨论收敛圆、幂级数计算之例、戴劳之级数、幂级数之微分及积分、亚培耳之定理、柯西之系数定理、威尔斯特拉司之二重级数定理及其应用等。第十四章“不收敛之级数”讨论渐近级数、幂级数与渐近级数之换置、渐近级数之除法、微分及积分、西萨罗之平均总和法、关于幂级数之西萨罗及布罗伯留士之定理、平均总和法之扩张、贺烈尔之指数总和法、积分总和法、指数总和与积分总和之关系等；附录为“复素项级数之项之次序变换”。

正文第一章“数列之极限”可见§1“无限数列之极限”，以正整数n对应一定规则确定数a_n，定义无限数列、项、添数，并用数轴上的点列表示数列；随后以a_n=1/n、a_n=2n-1等为例说明极限定义，讨论收敛、发散于正负无穷、振动、有限振动与无限振动等概念。§2“关于数列极限之注意”讨论极限记号的含义、数列不能同时收敛于相异极限、子列极限、极限不必为数列内之数等。§3“例题”举n^k、[na]、n^2+(-1)^n n、1/n+(-1)^n/n^2、sin nθπ等例，说明极限计算与判定。整体而言，本书系统译介近代级数论知识，术语如“收敛”“发散”“振动”“一律收敛”“二重级数”“无限乘积”“渐近级数”“西萨罗平均总和法”等，既可供当时数学专业读者研习，也保存了民国时期数学译名和教材编排面貌。本次仅见前20页，后续内容待补。