代数术二十五卷 首一卷 第四册

《代数术二十五卷 首一卷 第四册》为晚清西学译著，题英国华里司辑、英国傅兰雅口译、清华蘅芳笔述，同治十二年刊本。本次OCR提取前20页，所见正文为卷十八“论对数”，内容系统介绍对数的定义、性质、运算规则、对数种类、对数表编制及对数根的求法等，具有鲜明的近代数学译述特征。

卷十八开篇第一百六十四款论“无论何整数皆可为任何正数之各乘方”，以二之各方为例，说明指数为整数时相等之数成一级数，指数为分数时可成递加数；又依同法以十为底说明各数可以十之各方表示；并指出凡对数可用任何整数或分数为底，唯一及负数不能为对数之底，因一之各方皆为一，而负数之各方必有不能等于真数之数。第一百六十五款定义对数：命地为任何真数，任取已知之数未为底，可求得未之相配之指数天而令未之天方等于地，则天即为地之对数。第一百六十六款列对数最要之例三：任两数之对数相加恒等于相乘数之对数；任两数之对数相减恒等于相约数之对数；设卯为任何数，则地之对数恒等于卯倍地之对数。第一百六十七款说明对数表的用途，可省乘除、乘方、开方之功夫，只须将对数或加或减、或乘或约，即可检表而得乘约之真数、积与根之真数。第一百六十八款区分对数种类：以十为底者名常对数，亦名十进对数，亦名布里格斯对数；以某数为底者名双曲线对数，亦名讷白尔对数，亦名自然对数。并指出对数公理与其底数大小无关，真数与对数相关之理可以式明之，三数中任有其二即可推得其一；若指数天为未知之数，则其方程式与各种方程式不同，名之曰指数之方程式，其解法与求任何真数之对数同。

第一百六十九款以“地米之式”求天之同数，设甲亥一又 一，则方程式为天甲，两边各乘至卯方，得未地卯亥，即得天，此式两边各以二项例详之为级数。第一百七十款指出前款级数敛甚迟，若地大於二则为发级数，故变一敛得较速之级数式可为公用之法，将一式与二式相减得亥坤三，如令地地一地下一，则地而三亥亥一一亥式变为地数，故用此公式易推出奇零各小数之对数。第一百七十一款论无论何真数若非数根必为他两数或多数相乘而得之积，既有各乘数之对数可将各乘数之对数相加而以所得之和数为其积数之对数；惟真数若为数根则必藉他数之对数并用前款级数式而得本数之对数。第一百七十二款指出任何数之对数式其第二项恒必为两数相乘之积，此两数中其一数能因本数而变，其又一数呷一为常数，故名此数为对数之根。第一百七十三款论对数之最自然者以一为底，此种对数与讷白尔所设之对数同，昔人因其能明各种双曲线之面积故谓之双曲线对数；今因其创自讷白尔，故凡用此种对数之处俱以“讷”字别之，若用常对数者则但作“对”字。第一百七十四款论任何数之各种对数与其根之讷对有正比例，所以各种对数相与有一定之比例。第一百七十五款求十之讷对，先求一与五两数之讷对而得十之讷对为最妙，以二代公式中之地则级数之敛甚速，取第一项至第七项之和即得二之讷对；欲求五之讷对，因二之讷对已知而四为二之平方，故四之讷对亦为已知，令以代式中之卯而以一代其入，则式变为，由此级数式之首三项可得七位奇零之数，故得五之讷对，而十之讷对等于，故十之讷对为，所以常对数之根即为。对数之根因造对数表之时必须用之，故已有人推得许多位数。又论二之常对数易得，法将二之讷对以常对数之根乘之即得。

第一百七十六款论已有某种对数之底又有其任一箇对数欲求其相配之真数，或已有方程式其未天地所代之数与第一百六十五款同，欲求一级数之式为地之同数，其级数之各项为未与天所成，法令甲地则变为甲地，又可令变为甲地，其卯为任何数，后来必消去之，则依二项例得，如将其各项中之乘数以元代之而依卯方列之则得三，观此式则易见其叱两等同数因须消去故不详，如将甲之同数代入○式则得两卯，将此式之右边地卯卯之各方之母子相同者则得等等，所以在三式之各项中可汰去其卯，依二项之例详为级数则得，为任何数其在地之同数中本不应见，所以前式中所有以卯为乘数之诸项理应彼此相灭，所以四式可变为，因已知则依一百七十三款之理，可见其呷必为本种对数底之讷对。第一百七十七款如于地未之式中令，则其地之同数为，此式中之对数底以讷对明之，如令则即可见等于一箇常数，如将级数各项之分数并之则得其常数为二七一八二八一八二八四五九〇四五不尽，此数以戊代之则得戊，所以，惟因呷为讷对中未之对数故依一百六十五款及一百七十三款之理，可见戊即为讷对之底；又因戊，所以未戊对，对，而戊对，此式无论何种对数其理皆通。第一百七十八款再将前式中之岬以其同数对，对，戊未代之，得任何指数之公式为，令则得。凡此可见卷十八对数部分从定义、性质、运算、换底、对数表编制到自然对数底e的推导，层次分明，公式与文字相间，体现晚清译述西方代数与对数理论的面貌。本书为同治十二年刊本，对研究近代西方数学传入中国、晚清数学译著术语与体例、华蘅芳与傅兰雅的译述工作均有文献参考价值。本次仅见前20页，后续内容待补。