代数术二十五卷 卷首一卷 第六册

本书为《代数术》二十五卷卷首一卷之第六册，英国华里司辑、英国傅兰雅口译、清华蘅芳笔述，同治十二年刊本。本次OCR仅提取前20页，所见为卷二十五“论八线数理”部分，起于第二百六十款，内容围绕三角函数（八线）之数理展开。开篇称前于开方各式中曾论有用虚式之根号者，此式在考八线数理中实有大用处；设甲为任何大小之弧，以天代其弧之余弦，以地代其弧之正弦，依“幅之式”变得两式，并讨论卯为泛数（现在未定、将来可定之数）时，余弦、正弦的和角公式与差角公式可相加相减而得。书中又令卯为整数，从甲式、乙式推得若干倍弧之正弦、余弦式，并称“幅之式其卯无论为正数为负数为整数为分数其式无不合理”，又可用同法证卯为虚数（奇零不尽之数）亦合于理。其后论及算学士棣美弗于一千七百三十年间考平圆及双曲线之算式时所得，又称代数学书中谓是尤拉所设之法；试将二幅两式之和与较变之，可得二幅之两式，且与第十一卷中所言迦但所设解三次式之根其法相同。书中还讨论用二幅之式能将任何弧之正余弦径求其任几倍弧之正余弦，依二项例法则展开为级数，称“此式中其卯若为正整数则其级数可有尽界”，并提到一千七百一年间卜奴里所设之式，其本书中未有证法，卜奴里推得此两式而未知有棣美弗之两式，迨二十年后棣美弗始用卜奴里之式推得之。册内又论用同法证任几倍弧之正余弦自末幅起至止，因欲俟论微分积分术中解之，故不赘，今本款不过论其各式之用法，为求任弧正余弦各方之总级数，其级数之各项以弧之各倍正余弦之数明之。书中还列“欲用棣美弗所设之式以考各理必先定数箇常用之例以知弧背与八线之界限”，引几何公论“凡弧背必小于切线”“凡弧背必大于正弦”，并讨论卯恒加增时正切、正割、正弦、余弦之极限，称卯若大至无穷则正切之限为甲、余割之限为一、正弦之限亦为一。又论奈端初查得弧与弦相求之法，称其“法亦甚巧妙”；并提及讷白尔对数之根戊，于上式中令甲依常法代之，分其有虚根式乘数之各项为一行，可得若干幅之式。全书以“款”为序，逐款推演公式、级数与极限，术语如“八线”“正弦”“余弦”“正切”“正割”“余割”“虚式”“根号”“泛数”“幅之式”“二项例”“级数”“微分积分术”等，保留晚清西学译著以中土算学语汇表达西方三角学与解析数学的面貌，是研究近代数学东传、晚清译名及华蘅芳、傅兰雅合译活动的重要文本。本次仅见前20页，后续内容待补。